Pembahasan Matematika IPA UN: Logaritma

Spiral Logaritma

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional SMA-IPA bidang studi Matematika dengan materi pembahasan Logaritma.

Soal tentang Logaritma UN 2014

Hasil dari

$Logaritma UN 2014$

adalah ....

A.   11/4
B.   15/4
C.   17/4
D.   11
E.   15

Pembahasan

Angka-angka yang perlu disesuaikan

25 = 5²
81 = 3⁴
36 = 2².3²
4 = 2²

Rumus-rumus yang dibutuhkan untuk mengerjakan soal di atas.

^alog a            = 1
log ab            = log a + log b
^alog bⁿ           = n ^alog b
^aⁿlog b           = 1/n ^alog b
^alog b ^blog c = ^alog c

Dengan rumus-rumus tersebut, mari kita kerjakan soal di atas.

$frac{^{3}log 25cdot ^{5}log 81-^{4}log 2}{^{3}log 6- ^{3}log 4}=frac{^{3}log 5^{2}cdot ^{5}log 3^{4}-^{2^{2}}log 2}{^{3}log 2^{2}cdot 3^{2}- ^{3}log 2^{2}}$
$=frac{2cdot 4; ^{3}log 5cdot ^{5}log 3-frac{1}{2}^{2}log 2}{2; ^{3}log 2+2; ^{3}log 3- 2; ^{3}log 2}$
$=frac{8-frac{1}{2}}{2}$
$=frac{15/2}{2}$
= 15/4

Jadi, hasil dari logaritma tersebut adalah 15/4 (B).

Soal tentang Logaritma UN 2015

Hasil dari

$Soal logaritma UN 2015$

adalah ....

A.   45/4
B.   5/9
C.   1/3
D.   −1/3
E.   −5/9

Pembahasan

Angka-angka yang perlu disesuaikan

√5   = 5^1/2
³√5 = 5^1/3
1/3 = 3⁻¹
1/5   = 5⁻¹
1/27 = 3⁻³
3√3 = 3¹. 3^1/2
        = 3^3/2

Dengan menggunakan rumus-rumus di atas, mari kita kerjakan soal tersebut dengan perlahan-lahan.

$frac{^{3}log sqrt{5}cdot ^{sqrt[3]{5}}logfrac{1}{3}+^{5}logfrac{1}{5}}{^{3}logfrac{1}{27}-^{3}log3sqrt{3}}=frac{^{3}log 5^{frac{1}{2}}cdot ^{5^{frac{1}{3}}}log3^{-1}+^{5}log5^{-1}}{^{3}log3^{-3}-^{3}log3^{frac{3}{2}}}$
                                    $=frac{frac{1}{2}cdot 3cdot (-1)+(-1)}{-3-frac{3}{2}}$
                                    $=frac{-5/2}{-9/2}$
                                    = 5/9

Jadi, hasil dari logaritma tersebut adalah 5/9 (B).

Soal tentang Logaritma UN 2010

Pembahasan

Kita kerjakan per suku saja supaya lebih santai.

^1/5log 625 = ^5⁻¹log 5⁴
= −4 ⁵log 5
= −4

⁶⁴log (1/16) = ^2⁶log 2⁻⁴
= −4/6
= −2/3

4^{3²⁵log 5} = 4^{3^5²log 5}
             = 4^{3.½ ⁵log 5}
             = 4^3/2
             = (2^2)3/2
             = 2³
             = 8

Dengan demikian,

^1/5log 625 + ⁶⁴log (1/16) + 4^{3²⁵log 5}
= −4 − 2/3 + 8
= 4 − 2/3
= 10/3
= 3⅓

Jadi, hasil dari logaritma tersebut adalah opsi (B).

Soal tentang Logaritma UN 2012

Pembahasan

Angka 6 kita ubah menjadi 2×3 sedangkan angka 120 kita ubah menjadi 2²×3×10. Sebelumnya kita gunakan rumus

$^{a}log b=frac{log b}{log a}$

Dengan demikian diperoleh:

$^{6}log 120=frac{log 120}{log 6}$

Agar bentuk dapat diselesaikan, kita ubah bilangan pokoknya menjadi 2 (bilangan pokok boleh diganti berapapun, asal sama).

⁶log 20
$=frac{^{2}log 120}{^{2}log 6}$
$=frac{^{2}log 2^{2}cdot 3cdot 10}{^{2}log 2cdot 3}$
$=frac{2; ^{2}log 2+ ^{2}log3+^{2}log 10}{^{2}log 2+^{2}log 3}$
$=frac{2+x+y}{1+x}$

Jadi, nilai dari ⁶log 120 adalah opsi (A).

Soal tentang Logaritma UN 2013

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, angka 9 dan 150 harus kita uraikan sedemikian hingga mencakup angka 2, 3, atau 5 yang diketahui pada soal.

⁹log 150 = ^3²log 2 . 3 . 5²
              = ½ ³log 2 . 3 . 5²
              = ½ (³log 2 + ³log 3 + ³log 5²)
              = ½ (1/a + 1 + 2 ³log 5)

Biarkan sebentar, kita kerjakan dulu ³log 5.

$^{3}log 5=frac{log 5}{log3}$
$=frac{^{2}log 5}{^{2}log3}$
= b/a

Sekarang mari kita lanjutkan

⁹log 150 = ½ (1/a + 1 + 2 ³log 5)
              = ½ (1/a + 1 + 2b/a)
              $=frac{1}{2a}+frac{1}{2}+frac{b}{a}$
              $=frac{1+a+2b}{2a}$