Pembahasan soal Matematika UN 2014 program studi IPA nomor 21 sampai dengan nomor 25 tentang:
- deret geometri,
- jarak titik ke garis,
- sudut antara garis dan bidang,
- aturan sinus dan kosinus, serta
- persamaan trigonometri.
Soal No. 21 tentang Deret Geometri
Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian sehingga panjang potongan-potongan tali tersebut membentuk barisan geometri. Jika panjang tali terpendek 6 cm dan potongan tali terpanjang 96 cm maka panjang tali semula adalah ....
A. 96 cm
B. 185 cm
C. 186 cm
D. 191 cm
E. 192 cm
Pembahasan
Data yang diketahui pada soal:
deret geometri
n = 5
U1 = 6 cm
U5 = 96 cm
Sedangkan yang ditanyakan pada soal adalah S5. Kita tentukan rasio deret geometri tersebut.
Karena nilai r > 1 maka rumus jumlah deret geometri yang kita gunakan adalah:
Jadi, panjang tali semula adalah 186 cm (C).
Persdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Barisan dan Deret.
Soal No. 22 tentang Dimensi Tiga (jarak titik ke garis)
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 9 cm. Jika T terletak pada pertengahan garis HF, jarak titik A ke garis CT adalah ....
A. 5√3 cm
B. 6√2 cm
C. 6√3 cm
D. 6√6 cm
E. 7√3 cm
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_kb9vMdebK2SKc5vxRiLREN6RC0cvoOG034oi5-fg-1zNPJfiZiXyidHJqZhGCoN4BpT7UZM895L7iB8klLYsAGb3BlvMMx9kfq9doLxwWcbE46QA7ys9XIltPj_VqKy42WkC543nVng/s1600/banner-ebook.jpg)
Pembahasan
Kita gambar dulu kubusnya supaya memahami persoalannya.
![Jarak titik A ke garis CT dalam kubus ABCD.EFGH Jarak titik A ke garis CT dalam kubus ABCD.EFGH](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwvSE8RGVqbgB9LVrOX4-KpWfgfyGAHRgz-Y5c4H3EV-H6xAr-O9EH1Za9KbTBUX4iii150GNpWQu9Ry83zCpjWBYNT27-C0OzJ0KjPCIqaWl77WeL_F8Xa87xB4sGe_rxCcqCRDpx6mYF/s1600/jaral-titik-ke-garis.jpg)
Sekarang, pandanglah diagonal bidang ACGE!
![Diagonal ACGE menentukan jarak titik dan garis dengan memandang diagonal ACGE](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjqu_4Zucx3wDuuJR-CH2V7b-z3xU2eEpWO0R6KST4lO7LbZBnhdCDF8KLeIcPnSqVHr1HdY12hR829GVaIcvjY0efDS6r3z0XTgFa_ovbpdHPScQHwPQjYv6kIRF-WDvUhFAxtA0DnA-FQ/s1600/diagonal-ACGE.jpg)
Garis CT dan garis ET' adalah dua garis yang sejajar dan sama-sama menghubungkan titik tengah dan titik sudut ACGE. Dua garis ini ternyata membagi garis AG menjadi tiga bagian yang sama panjang sehingga AA' = 2/3 AG. Sedangkan AG merupakan diagonal ruang kubus ABCD.EFGH yang terkenal dengan rumus a√3 dengan a adalah sisi kubus.
AG = a√3
= 9√3
AA' = 2/3 AG
= 2/3 × 9√3
= 6√3
Jadi, jarak titik A ke garis CT adalah 6√3cm (C).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Jarak Titik, Garis, dan Bidang [Dimensi Tiga].
Soal No. 23 tentang Dimensi Tiga (sudut antara garis dan bidang)
Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α. Nilai sin α = ....
A. ½√2
B. ½√3
C. ⅓√3
D. ⅔√2
E. ¾√3
Pembahasan
Perhatikan gambar berikut ini!
![Sudut antara garis dan bidang pada kubus Sudut antara garis AE dan bidang AFH pada kubus ABCD.EFGH](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYlx_Jfa1ONdxv6DuOMg3e30oTaZ-C_BwKuI6NbXbfcw4Js7AOFZuGm4i3kfduNMUNv4IbmVAb4FnQexUQEFeq8VjyyjdPrOHZYI1AHqqxgL0BqwxKTBnNgID6wqlkoGu1_PTH-_5GTYiK/s1600/sudut-garis-dan-bidang.jpg)
Untuk menentukan sudut yang dibentuk oleh garis AE dan bidang AFH, kita tentukan dulu titik pertemuan antara garis dan bidang tersebut, yaitu titik A.
Dari titik A, kita tarik garis tengah bidang AFH, yaitu garis AT. Sudut yang dibentuk oleh garis AE dan garis AT inilah yang disebut sudut α.
ET adalah setengah diagonal EG. Sedangkan EG adalah diagonal bidang kubus yang dikenal dengan rumus a√2.
EG = a√2
= 4√2
ET = ½ EG
= ½ 4√2 cm
= 2√2 cm
Sekarang, pandanglah segitiga AET!
![Segitiga siku-siku AET pada segitiga siku-siku AET hukum Pythagoras dan trigonometri](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj7sqCD9XE2_dq_iy9LLdNkk3e0g4d2vJ711hze0i1W2U1qXk-4MTQLyopdb7CYUae4lLwA6IVCWHB9uT4-KvmG4iLTJRpd7efO8eABXO8ge1nJ-nzyd6jbhicafBNKLBMJddmqj3Pr-Ibj/s1600/segitiga-siku.jpg)
Segitiga AET adalah segitiga siku-siku sehingga berlaku teorema Pythagoras dan trigonometri.
Coba masing-masing suku dalam akar dibagi 22. Diperoleh:
Sekarang kita tentukan nilai sinus sudutnya.
Jadi, nilai sin α = ⅓√3 (C).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Sudut antara Garis dan Bidang [Dimensi Tiga].
Soal No. 24 tentang Trigonometri (aturan sinus dan kosinus)
Diketahui segiempat ABCD seperti gambar.
![Aturan sinus dan kosinus segitiga trigonometri: aturan sinus dan kosinus segitiga](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi-Q0GAUEEsuW7vmvQnB8Lv2O6xwoIjp5YwvPFriP_nCXCrnajsWgqAXVyEpc7OWd1RG3ZhK2ztCbr_Lfo5WeUWgFkd2vXnfIynOY8shv-tWO28-0Skubt08mnCcOCigCnQA2-PpOaznISY/s1600/aturan-sin-cos.jpg)
Panjang sisi BC adalah ....
A. 7√3 cm
B. 6√3 cm
C. 4√5 cm
D. 3√5 cm
E. 2√5 cm
Pembahasan
Pandanglah segitiga ABD!
![Aturan sinus pada segitiga Aturan sinus pada segitiga](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-Fz7ulutVIZW7G6QVYwq5Jx9SpUxC10UQvLbxzORY9aDIIJf51wkviVUi9v-onCEQZsOFNqXPLQbndaa-J8Haol4zv1DpVCaNMNOwiwhr5If6XAXEW9JyyGe0J5nu3o0q0YztNkq1nNxP/s1600/aturan-sinus.jpg)
Data pada segitiga tersebut adalah dua sudut dan satu sisi. Karena itu, gunakan aturan sinus untuk menentukan sisi BD.
Angka ½ pada masing-masing bisa dicoret kemudian dikalikan silang. Diperoleh:
BD = 6 cm
Selanjutnya, pandanglah segitiga BCD!
![Aturan kosinus pada segitiga Aturan kosinus pada segitiga](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiSmrpxmQG5qYt9OVtP4yAS9BVaAuAK2LUIrRtq8zTy7w8s6Yz9yy_YIQtxAqapFd2MuLrRsUDRSHPHuen0ioyirTq-4Sjea9P12bhIOawZqj_Jop6g5KrtXTm_95hJDMm5YUPixl6J_UKb/s1600/aturan-kosinus.jpg)
Karena pada segitiga tersebut diketahui satu sudut dan dua sisi, kita gunakan aturan kosinus untuk menentukan nilai BC.
BC2 = BD2 + CD2 − 2 BD . CD cos 45
= 36 + 32 − 2 . 6 . 4√2 . ½√2
= 20
BC = 2√5
Jadi, panjang sisi BC adalah 2√5 cm (E).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Aturan Sinus dan Kosinus.
Soal No. 25 tentang Trigonometri (persamaan trigonometri)
Himpunan penyelesaian dari persamaan 2 sin x − √3 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah ....
A. {⅓π, ⅔π}
B. {⅓π, ⅙π}
C. {⅓π, ½π}
D. {⅓π, ⅚π}
E. {⅔π, ⅚π}
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal persamaan trigonometri, selain harus hafal sudut-sudut istimewa juga harus memperhatikan daerah atau interval sudut yang ditanyakan.
2 sin x − √3 = 0
sin x = ½ √3
sin x = sin 60°
Pada interval 0 ≤ x ≤ 2π, nilai sin x = ½ √3 (positif) terdapat pada kuadran I dan II.
Kuadran I
Kuadran II
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tersebut adalah opsi (A).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Persamaan Trigonometri.
Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2014 selengkapnya.
Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.
Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.