Pembahasan soal Matematika UN 2014 program studi IPA nomor 31 sampai dengan 35 tentang:
- integral tentu fungsi aljabar,
- integral tentu fungsi trigonometri,
- integral tak tentu fungsi trigonometri,
- luas daerah, serta
- volume benda putar.
Soal No. 31 tentang Integral Tentu Fungsi Aljabar
Nilai dari
adalah ....
A. −5
B. −1
C. 1
D. 2
E. 3
Pembahasan
Sebelum diintegralkan, dua faktor yang ada dalam integral tersebut dikalikan dulu, menjadi:
Kalau bentuknya sudah seperti di atas, baru diintegralkan. Diperoleh:
Sekarang substitusikan x = 2 dan x = −1 per suku, seperti berikut ini.
[23 − (−1)3] − [22 − (−1)2] − [2 − (−1)]
= (8 + 1) − ( 4 − 1) − (2 + 1)
= 3
Jadi, nilai dari integral tersebut adalah 3 (E).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Integral Fungsi Aljabar.
Soal No. 32 tentang Integral Tentu Fungsi Trigonometri
Nilai dari
adalah ....
A. ½√2
B. ½
C. 0
D. −½
E. −½√3
Pembahasan
Gunakan rumus perkalian sinus dan kosinus untuk mengerjakan soal di atas.
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A − B)
2 cos 3x cos x = cos 4x + cos 2x
Sehingga bentuk integral tersebut menjadi:
Hasilnya cukup dengan substitusi x = ¼π karena substitusi x = 0 akan menghasilkan nol.
= ¼ sin 4.¼π + ½ sin 2.¼π
= ¼ sin 180° + ½ sin 90°
= 0 + ½ = ½
Jadi, nilai dari integral fungsi trigonometri tersebut adalah ½ (B).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Integral Fungsi Trigonometri.
Soal No. 33 tentang Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri
Hasil ∫ sin34x . cos 4x dx = ....
A. −1/16 sin4 4x + C
B. −⅛ sin4 4x + C
C. ¼ sin4 4x + C
D. ⅛ sin4 4x + C
E. 1/16 sin4 4x + C
Pembahasan
Ini adalah integral substitusi fungsi trigonometri. dx disubstitusikan dengan d(sin 4x) karena fungsi sinus pada integral di atas berpangkat lebih tinggi daripada fungsi kosinus. Dalam substitusi ini pangkat 3 dari fungsi sinus tidak perlu diikutkan.
Jadi, tinggi hasil dari integral tersebut adalah opsi (E).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Integral Fungsi Trigonometri.
Soal No. 34 tentang Luas Daerah
Pembahasan
Perhatikan gambar berikut ini!
Untuk menentukan luas daerah yang diarsir seperti gambar pada soal, kita harus membagi daerah arsiran tersebut menjadi dua bagian. Bagian pertama terletak pada interval 0 ≤ x ≤ 4. Luas daerah dalam interval ini merupakan integral y2. Bagian yang kedua terletak pada interval 4 ≤ x ≤ 8. Luas daerah dalam interval ini merupakan integral y2 - y1.
Jadi, luas daerah yang diarsir dapat dinyatakan dengan rumus pada opsi (E).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Luas Daerah [Aplikasi Integral].
Soal No. 35 tentang Volume Benda Putar
Volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva y = −√3x2, sumbu x, di dalam lingkaran x2 + y2 = 4, dan diputar mengelilingi sumbu x adalah ....
A. 80/15 π satuan volume
B. 68/15 π satuan volume
C. 64/15 π satuan volume
D. 34/15 π satuan volume
E. 32/15 π satuan volume
Pembahasan
Langkah pertama adalah menentukan titik potong antara kurva dan lingkaran. Titik potong ini berguna untuk menentukan batas integrasi integral yang diinginkan. Kita substitusikan persamaan kurva pada persamaan lingkaran.
x2 + y2 = 4
x2 + (−√3x2)2 = 4
3x4 + x2 − 4 = 0
(3x2 + 4)(x2 − 1) = 0
x2 = −4/3 (TM) atau
x2 = 1 → x = ±1
TM artinya tidak memenuhi, hal ini karena hasil kuadrat tidak mungkin bernilai negatif. Sekarang kita perhatikan gambar berikut ini!
Daerah arsiran yang berwarna biru adalah daerah yang dibatasi oleh kurva, sumbu x, dan lingkaran. Daerah inilah yang akan diputar 360° terhadap sumbu x.
Coba perhatikan! Daerah sebelah kiri dan kanan sumbu y luasnya sama. Karena itu, kita cukup mengintegralkan daerah sebelah kanan saja kemudian dikalikan 2.
Volume benda putar diperoleh dengan mengintegralkan kuadrat dari fungsi kurva dan lingkaran dengan memperhatikan intervalnya. Pada interval 0 ≤ x ≤ 1, volume benda putar merupakan integral dari kuadrat fungsi kurva, y2 =3x4. Sedangkan pada interval 1 ≤ x ≤ 2, volume benda putar merupakan integral dari fungsi lingkaran y2 = 4 − x2.
Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah 68/15 π satuan volume (B).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Volume Benda Putar [Aplikasi Integral].
Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2014 selengkapnya.
Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.
Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.
