Pembahasan Matematika No. 6 - 10 TKA Saintek UTBK SBMPTN 2019



Pembahasan Matematika No. 6 - 10 TKA Saintek UTBK SBMPTN 2019

Pembahasan soal Matematika Saintek Tes Kompetensi Akademik Sains dan Teknologi (TKA Saintek) pada Ujian Tulis Berbasis Komputer (UTBK) Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) tahun 2019 nomor 6 sampai dengan nomor 10 tentang:
  • fungsi kuadrat, 

  • trigonometri, 

  • logika matematika, 

  • aplikasi turunan, dan 

  • kaidah pencacahan.


Soal No. 6 tentang Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat f(x) = x2 + 2px + p mempunyai nilai maksimum −p dengan p ≠ 0. Jika sumbu simetri kurva f adalah x = a maka nilai a + f(a) = ….





A.6
B.4
C.−4
D.−5
E.−6

Pembahasan

Sumbu simetri fungsi kuadrat f(x) = x2 + 2px + p adalah:
Menentukan nilai sumbu simetri dari kurva f(x) = x^2 + 2px + p

Diketahui bahwa sumbu simetri fungsi kuadrat tersebut adalah x = a sehingga:

a = −p

Fungsi kuadrat tersebut mempunyai nilai maksimum −p. Nilai maksimum terjadi saat x merupakan sumbu simetri. Sehingga:





f(a)= p
a2 + 2pa + p = p
a2 + 2ap + 2p= 0

Substitusi a = −p ke persamaan di atas diperoleh:





(−p)2 + 2(−p)p + 2p= 0
p2 − 2p2 + 2p= 0
p2 + 2p= 0
p2 − 2p= 0
p(p − 2)= 0

p = 0 atau p = 2

Karena p ≠ 0 maka yang memenuhi adalah p = 2.

Dengan demikian,






a + f(a)= p + (−p)
= −2p
= −2× 2
= −4

Jadi, nilai dari a + f(a) adalah −4 (C).

Soal No. 7 tentang Trigonometri

Jika sin⁡ (40° + x) = a untuk 0° x x) = ….
Opsi jawaban soal trigonometri UTBK SBMPTN 2019

Pembahasan

Segitiga trigonometri untuk sin⁡ (40° + x) = a adalah:
Segitiga trigonometri untuk sin⁡ (40° + x) = a

Selanjutnya kita gunakan rumus jumlah dua sudut.

cos (A + B) = cos ⁡A cos ⁡B − sin⁡ A sin ⁡B

Agar memenuhi rumus di atas dengan sudut yang sudah diketahui maka perlu dilakukan pengubah sebagai berikut:

70° + x = 30° + (40° + x)

Sudut 30° merupakan sudut istimewa dan sudut 40° + x sudah kita tentukan di atas. Sehingga:

Menentukan nilai dar cos (70° + x) dengan rumus jumlah dua sudut

Jadi, nilai dari cos⁡ (70° + x) adalah opsi (B).

Soal No. 8 tentang Logika Matematika

Nilai x yang menyebabkan pernyataan “Jika x2 + 2x = 8 maka x2 + 5x





A.−4
B.−2
C.1
D.2
E.4

Pembahasan

Misalkan:

px2 + 2x = 8
qx2 + 5x < 11

Pernyataan di atas adalah pernyataan implikasi:

pq    (baca: jika p maka q)

Tabel kebenaran untuk pernyataan implikasi adalah:

Tabel kebenaran peryataan impilikasi p ⇒ q

Berdasarkan tabel kebenaran di atas, pernyataan implikasi pq akan bernilai salah jika pernyataan p benar dan q salah.

Ok, mari kita selesaikan! Kita mulai dari pernyataan p.





x2 + 2x= 8
x2 + 2x − 8= 0
(x + 4)(x − 2)= 0
x = −4 atau x = 2

Sekarang kita substitusikan nilai x tersebut ke pernyataan q. Kita tentukan mana nilai x yang menyebabkan pernyataan q bernilai salah.

qx2 + 5x < 11

Untuk x = −4





(−4)2 + 5×(−4)<11
16 − 20<11
−4<11 [benar]

Untuk x = 2




22 + 5×2<11
4 + 10<11
14 < 11<11 [salah]

Jadi, nilai x yang menyebabkan pernyataan tersebut bernilai salah adalah 2 (D).

Soal No. 9 tentang Aplikasi Turunan

Garis singgung kurva f(x) = 2x3 + 3x2 + 6x + 5 di titik x = a dan x = a + 1 adalah sejajar. Jarak kedua garis singgung kurva tersebut adalah ….





A.1/√37
B.2/√37
C.3/√37
D.4/√37
E.5/√37

Pembahasan

Gradien garis singgung merupakan turunan pertama dari fungsi kurva.

f(x) = 2x3 + 3x2 + 6x + 5


Misal m1 adalah gradien garis singgung di x = a. Sedangkan m2 adalah gradien garis singgung di x = a + 1. Karena kedua garis singgung tersebut sejajar maka:







m1= m2
6a2 + 6a + 6= 6(a + 1)2 + 6(a + 1) + 6
6a2 + 6a= 6(a2 + 2a + 1) + 6a + 6
6a2= 6a2 + 12a + 12
0= 12a + 12
−12= 12a
a= −1

Dengan demikian, gradien kedua garis singgung tersebut adalah (kita ambil salah satu, misal m1):




m1= 6a2 + 6a + 6
= 6×(−1)2 + 6×(−1) + 6
= 6 − 6 + 6
= 6

Titik singgung garis 1 adalah:





y= f(−1)
= 2×(−1)3 + 3×(−1)2 + 6×(−1) + 5
= −2 + 3 − 6 + 5
= 0

∴ (−1, 0)

Sedangkan titik singgung garis 2 adalah:






y= f(0)
= 2×03 + 3×02 + 6×0 + 5
= 5

∴ (0, 5)

Persamaan kedua garis singgung tersebut adalah:

Garis 1:





yy1= m(xx1)
y + 0= 6(x + 1)
6xy + 6= 0 [a = 6, b = −1, c = 6]

Garis 2:




yy1= m(xx1)
y − 5= 6(x − 0)
6xy + 5= 0 [a = 6, b = −1, d = 5]

Jarak antara dua garis sejajar ax + by + c = 0 dengan ax + by + d = 0 dirumuskan:
Rumus Jarak dua garis sejajar

Jadi, jarak kedua garis singgung kurva tersebut adalah opsi (A).

Soal No. 10 tentang Kaidah Pencacahan

Ita, Ani, dan Rini beserta 4 orang teman mereka akan membuat barisan dengan syarat mereka bertiga (Ita, Ani, dan Rini) tidak berdampingan. Banyak barisan yang dapat dibuat adalah ….





A.5!×3!
B.6!×(3!)2
C.5!×(3!)2
D.4!×(3!)2
E.2!×3!×4!

Pembahasan

7 orang (Ita, Ani, Rini, dan 4 teman) akan membuat barisan (tanpa syarat).
7 orang (Ita, Ani, Rini, dan 4 teman) membuat barisan, banyak barisan

Jika 3 orang (Ita, Ani, Rini) selalu berdampingan maka 3 orang tersebut dianggap 1 orang sehingga:
Banyak barisan 7 orang dengan syarat 3 orang selalu berdampingan

Dengan demikian banyak barisan yang dapat dibuat oleh 7 orang tersebut dengan syarat Ita, Ani, dan Rini tidak berdampingan adalah:






A − B= 7! − 5! × 3!
= 7 × 6 × 5! − 5! × 3 × 2 × 1
= 7 × 6 × 5!5! × 6
= 5! × 6 × (7 − 1)
= 5! × 6 × 6
= 5! × 62

Bila diperhatikan langkah di atas, 3! = 6, sehingga hasilnya adalah:

A - B = 5!×(3!)2

Jadi, banyak barisan yang dapat dibuat adalah 5!×(3!)2 (C).

Simak Pembahasan Soal TKA Saintek UTBK SBMPTN 2019 selengkapnya.


Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.


Next Post Previous Post
No Comment
Add Comment
comment url