Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 6



Pembahasan soal Matematika IPA Ujian Nasional 2015 nomor 6 sampai dengan nomor 10 tentang:

  • persamaan kuadrat baru,

  • jenis akar persamaan kuadrat,

  • persamaan linear,

  • persamaan lingkaran, dan

  • garis singgung lingkaran.




Soal No. 6 tentang Akar Persamaan Kuadrat Baru



Persamaan kuadrat x2 + 6x − 5 = 0 akar-akarnya α dan β. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya (α + 2) dan (β +2) adalah ....

A.   x2 + 2x − 13 = 0
B.   x2 + 2x + 13 = 0
C.   x2 − 2x − 13 = 0
D.   x2 + 2x − 21 = 0
E.   x2 − 2x − 21 = 0









Pembahasan



Cara 1


Persamaan kuadrat x2 + 6x − 5 = 0 akar-akarnya α dan β, diperoleh

α + β = −b/a = −6
α . β = c/a = −5

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + 2) dan (β +2) adalah 

x2px + q = 0

dengan p = (α + 2) + (β +2)  dan q = (α + 2) . (β +2)

Mari kita tentukan nilai p dan q. 

p = (α + 2) + (β +2)
   = (α + β) + 4
   = −6 + 4
   = −2 

q = (α + 2) . (β +2)
   = αβ + 2α + 2β + 4
   = αβ + 2(α + β) + 4
   = −5 + 2.(−6) + 4
   = −13

Dengan demikian persamaan kuadra baru tersebut adalah 

x2px + q = 0 
x2 + 2x − 13 = 0


Cara 2 


Akar-akar persamaan kuadrat lama: α dan β
Akar-akar persamaan kuadrat baru : (α + 2) dan (β + 2)

Misal    x = α + 2
maka    α = x − 2

Persamaan kuadrat lama: x2 + 6x − 5 = 0
Persamaan kuadrat baru : α2 + 6α − 5 = 0

Substitusi α = x − 2 pada persamaan kuadrat baru:

α2 + 6α − 5 = 0
(x − 2)2 + 6(x − 2) − 5 = 0 
x2 − 4x + 4 + 6x − 12 − 5 = 0 
x2 + 2x − 13 = 0

Jadi, persamaan kuadrat baru dari persamaan kuadrat tersebut adalah x2 + 2x − 13 = 0 (A).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Persamaan dan Fungsi Kuadrat.


Soal No. 7 tentang Jenis Akar Persamaan Kuadrat



Agar persamaan kuadrat (m − 5)x2 − 4mx + m − 2 = 0 mempunyai dua akar real, batas-batas nilai m yang memenuhi adalah ....

A.   m > 10/3 atau m < 1
B.   m ≥ 10/3 atau m ≤ −1
C.   m ≥ 1 atau m ≤ −10/3
D.   m > 10/3 atau m < −1
E.    m > 1 atau m < −10/3




Pembahasan


Dari persamaan kuadrat (m − 5)x2 − 4mx + m − 2 = 0 diperoleh data: 

a = m − 5, 
b = −4m, 
c = m − 2.

Syarat agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai akar real adalah  

D ≥ 0 
b2 − 4ac ≥ 0
(−4m)2 − 4(m − 5)(m − 2) ≥ 0
16m2 − 4(m2 − 7m + 10) ≥ 0
12m2 + 28m − 40) ≥ 0
3m2 + 7m − 10) ≥ 0
(3m + 10) (m − 1) ≥ 0


Sekarang tinggal membuat garis bilangannya.




Garis bilangan pertidaksamaan kuadrat, akar real persamaan kuadrat


Berdasarkan garis bilangan pertidaksamaan tersebut diperoleh 

m ≥ 1 atau m ≤ −10/3

Jadi, batas-batas nilai m agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar real adalah opsi (C).


Soal No. 8 tentang Persamaan Linear



Di sebuah toko buah, Malik, Aziz, Sulasmini, dan Ani berbelanja. Malik membeli 2 kg jeruk, 1½ kg mangga, dan 1 kg jambu seharga Rp72.000,00. Aziz membeli 3 kg jeruk, ½ kg mangga, dan ½ kg jambu seharga Rp61.000,00. Sulasmini membeli 1 kg jeruk, 2 kg mangga, dan 2 kg jambu seharga Rp79.000,00. Jika Ani membeli ½ kg jeruk, 1½ kg mangga, dan 1 kg jambu maka ia harus membayar sebesar ....

A.   Rp49.500,00
B.   Rp47.500,00
C.   Rp35.000,00
D.   Rp32.500,00
E.   Rp29.500,00









Pembahasan


Kita misalkan terlebih dahulu. 

x : jeruk 
y : mangga 
z : jambu

Selanjutnya kita buat persamaan matematikanya.

Malik      : 2x + 1½y + z  = 72.000  ... (1)
Aziz        : 3x + ½y + ½z  = 61.000 ... (2)
Sulasmini : x + 2y + 2z = 79.000      ... (3)
Ani          : ½x + 1½y + z = ?

Perhatikan persamaan (2) dan (3). Koefisien y dan z pada kedua persamaan tersebut mempunyai perbandingan yang sama. Jadi dengan mengeliminasi kedua persamaan tersebut, dua variabel akan langsung tereliminasi.

Mari kita eliminasi. Persamaan (2) kita kalikan 4 sedangkan persamaan (3) kita biarkan apa adanya.

12x + 2y + 2z = 244.000 
    x + 2y + 2z =   79.000
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  −
                11x = 165.000 
                    x =   15.000

Sekarang perhatikan persamaan matematika dari Malik dan Ani. Kedua persamaan tersebut mempunyai koefisien y dan z yang sama bukan? Berarti kita cukup melakukan substitusi x = 15.000 ke persamaan (1).

2 × 15.000 + 1½y + z = 72.000
                      y + z = 42.000

Sekarang kita sudah dapat menentukan harga yang harus dibayar oleh Ani.

   ½x + y + z
= ½ × 15.000 + 42.000
= 7.500 + 42.000
= 49.500

Jadi, Ani harus membayar buah-buahan yang dibelinya sebesar Rp49.500,00 (A).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika UN: Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear.


Soal No. 9 tentang Persamaan Lingkaran



Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (−1, 2) dan menyinggung garis x + y + 7 = 0 adalah ....

A.   x2 + y2 + 2x + 4y − 27 = 0
B.   x2 + y2 + 2x − 4y − 27 = 0
C.   x2 + y2 + 2x − 4y − 32 = 0
D.   x2 + y2 − 4x − 2y − 32 = 0
E.   x2 + y2 − 4x + 2y − 7 = 0




Pembahasan



Perhatikan gambar di bawah ini!




Jari-jari lingkaran merupakan jarak titik pusat ke titik singgung, jarak titik ke garis


Jarak tegak lurus titik pusat ke garis tersebut merupakan jari-jari lingkaran. Rumus jarak titik ke garis adalah

Rumus jarak titik ke garis = jari-jari lingkaran
  

Persamaan lingkaran tersebut adalah

(xx1)2  + (yy1)2  = r2
(x + 1)2  + (y − 2)2  = (4√2)2 
x2  + 2x + 1 + y2 − 4y + 4 = 32 
x2  + y2 + 2x − 4y − 27 = 0

Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah opsi (B).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Lingkaran.


Soal No. 10 tentang Garis Singgung Lingkaran



Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 2x − 6y − 10 = 0 yang tegak lurus garis x + 2y + 1 = 0 adalah ....

A.   y = 2x − 14
B.   y = 2x − 11
C.   y = 2x + 5
D.   y = 2x + 9
E.   y = 2x + 15









Pembahasan


Persamaan lingkaran x2 + y2 + 2x − 6y − 10 = 0 mempunyai bentuk umum 

x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0

Berdasarkan bentuk umum tersebut diperoleh

2A = 2
  A = 1

2B = −6
  B = −3

C = −10



Pusat dan jari-jari lingkaran tersebut adalah

pusat (−A, −B)
pusat (−1, 3)   → (h, k)

Rumus pusat lingkaran dalam bentuk umum
  

Misal gradien garis x + 2y + 1 = 0 adalah m1, maka 

m1 = −a/b
      = −1/2

Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan garis tersebut sehingga perkalian gradien garis (m1) dengan gradien garis singgung lingkaran (m2) sama dengan −1. 

m1  . m2 = −1
−½ . m2 = −1 
         m2 = 2

Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat (h, k), jari-jari r, dan gradien m2 adalah

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m, tegak lurus suatu garis
 
y − 3 = 2x + 2 ± 10 
      y = 2x + 5 ± 10 
y = 2x + 15   dan   y = 2x − 5

Jadi, salah satu persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah y = 2x + 15 (E).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Lingkaran.

Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2015 selengkapnya.



Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.


Next Post Previous Post
No Comment
Add Comment
comment url